DERIVADAS PARCIALES

Derivadas parciales de primer orden
Se llama derivada parcial de una función con respecto a la variable independienteal siguiente límite, si existe y es finito:

calculado suponiendo queconstante.

Se llama derivada parcial de una función con respecto a la variable independiente al siguiente límite, si existe y es finito

Se llama diferencial total de la función a la siguiente expresión (si la función es diferenciable)

Derivadas parciales de orden mayor

Se llaman derivadas parciales de segundo orden de la función z = f(x,y) a las derivadas parciales de las derivadas parciales de primer orden.

Se usan las siguientes notaciones:

; 

;

(se empieza derivando por la variable que está más cerca de la función)

Si las derivadas parciales son continuas, entonces las derivadas cruzadas son iguales.

Igual se definen las derivadas parciales de tercer orden y de órdenes superiores.

Si las derivadas parciales son continuas entonces no dependen del orden en que se realicen, sino del número de veces que se derive respecto de cada una de las variables (aunque el resultado final sea igual, el cálculo puede resultar más complicado en un orden que en otro).

Se llama diferencial de segundo orden de una función a la diferencial de su diferencial total:

Análogamente se define la diferencial de tercer orden.

Se siguen unas reglas parecidas a las potencias:

Superficies cuadráticas

Las superficies son aquel conjunto  de puntos en el espacio tridimensional cuyas coordenadas satisfacen una ecuación f(x,y,z)=0.

Su ecuación es de la forma:
 Ax +By +Cz +Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0 

Donde, al menos uno de los seis primeros coeficientes A, B, C, D, E y F es diferente de cero.

Las superficies cuadráticas se dividen en:

• ELIPSOIDES

La ecuación de un elipsoide con centro en el origen es:

Donde a, b y c son mayores a cero, si  a=b=c son iguales se obtiene una esfera. Su gráfica es:

• PARABOLOIDES

La ecuación de un paraboloide con vértice en el origen tiene de ecuación:

• PARABOLOIDE HIPERBÓLICA

Su ecuación es la siguiente:

• CONOS

• CILINDROS

ESPACIO 3 D

ESPACIO 3D

Para representar el vector unitario donde î=(1,0,0) j=(0,1,0) k=(0,0,1) se escribe las coordenadas
de la forma V= î+j+k

El espacio 3 D es ocupado en ingeniería civil en dibujo en tres dimensiones, para representar volúmenes, áreas y superficies de proyectos de construcción. Las coordenadas pueden ser utilizadas para las medidas de los elementos.

Patito

Mi nombre es Paty estudio Ingeniería Civil y tengo 19 años. Este blog fue creado como portafolio de evidencias para mi clase de Matemáticas III. Soy una persona muy alegre y risueña. Me gusta mucho el chocolate y quiero mucho a mi familia, también me gusta mucho viajar pero no puedo hasta terminar de estudiar y por eso tengo que pasar. En fin, espero les agrade mucho los temas...

¡Sé feliz y sonríe a la vida!

Vectores

VECTORES

Un vector es un segmento que tiene orientación, dirección y magnitud.


El vector unitario es aquel que tiene una unidad de magnitud. Se representa el vector unitario con un gorrito en la letra.


Todo vector unitario puede ser escrito en términos del sen(t) y cos(t) que forma con el ángulo del eje x positivo.

OPERACIONES CON VECTORES


Suma de vectores

Se define el vector suma de ambos (w) a otro vector cuyas componentes se calculan sumando las componentes de cada uno de ellos.

El producto escalar de dos vectores u y v que forman un ángulo φ se define como:

De la expresión anterior se observa que el producto escalar de dos vectores no es un vector, es un número (un escalar). Además el producto escalar de dos vectores perpendiculares es nulo. Se deducen entonces los siguientes resultados:

Si los vectores están expresados en componentes, en tres dimensiones y aplicando los resultados anteriores se obtiene que:

El producto vectorial de dos vectores que forman un ángulo φ es otro vector, de dirección perpendicular al plano formado por los dos vectores, sentido el que da la regla de la mano derecha y módulo el que se especifica a continuación: El producto vectorial no posee la propiedad conmutativa, ya que se cumple que: Además, se cumple que el producto vectorial de dos vectores paralelos es nulo. Se obtienen entonces las siguientes relaciones:   Si los vectores vienen expresados en componentes el producto vectorial se calcula desarrollando el determinante.

Los vectores son aplicados a la Ingeniería civil en comportamiento estructural, las cargas que soportan las vigas, las cargas que soportan las zapatas, las reacciones de diferentes elementos, para los momentos, para obtener deformaciones, entre otros conceptos.

Gráficas de ecuaciones con coordenadas polares.

Las ecuaciones polares suelen comportarse de diferentes formas dependiendo de la función introducida, el tamaño del radio y el coeficiente por el cual se multiplica la función o una adición o sustracción. En las siguientes imágenes se muestran los comportamientos.

En construcciones se pueden utilizar las ecuaciones con coordenadas polares para describir el comportamiento de diferentes estructuras, pueden ser suelos, lozas, taludes, o carreteras.

Coordenadas Polares

    Graficar en coordenadas polares no es muy distinto a las coordenadas cartesianas. Mientras en un sistema de coordenadas cartesianas tenemos una cuadrilla rectangular de rectas verticales y horizontales que representan los ejes x e y (x,y) respectivamente, en un sistema de coordenadas polares tenemos un polo en el centro el cual es equivalente al origen en el sistema de coordenadas cartesianas, y tenemos muchos círculos concéntricos que tienen su origen en el polo y algunas rectas que pasan por el polo formando ángulos diferentes en el mismo. La longitud de estas rectasforma la coordenada radial del sistema, es decir, ‘r’ y el ángulo en el cual subtienden con respecto al eje x forma las coordenadas polares del sistema, esto es, t, el cual está en radianes. Por lo tanto, el sistema de coordenadas polares está representado por un par de coordenadas tales como (r, t).

  Para la transformación de coordenadas polares a coordenadas cartesianas y viceversa se utiliza: